Los dados perfectamente justos para decidir quién empieza entre 5 jugadores, un pequeño problema matemático resuelto tras 15 años
Este curioso problema comenzó con una pregunta aparentemente trivial: cómo decidir quién empieza una partida con una sola tirada de dados por jugador, de forma perfectamente justa y sin posibilidad de que haya empate. El número más alto empieza. Pero, lógicamente, no todos los dados pueden ser iguales, aunque sí tener la misma forma… y deben repartir las probabilidades equitativamente.
Eric Harshbarger, profesor de matemáticas en la Universidad de Auburn (Alabama, Estados Unidos) y diseñador de juegos, empezó a estudiarlo en 2010 junto con Robert Ford. Finalmente, junto con el informático canadiense Paul Meyer, dieron con la solución. Unos 15 años después, el problema puede darse por resuelto de forma práctica.
Con 2 jugadores es fácil. Basta, por ejemplo, con que el jugador A tenga un dado de dos caras (o una moneda) que sean {1, 4} y el jugador B otro de la misma forma con {2, 3}. De las 4 combinaciones posibles al lanzarlos, A gana 2 y B gana 2. Y nunca empatan, así que cada orden posible tiene una probabilidad del 50%.
Con 3 jugadores ya hay 3! = 6 órdenes posibles posibles. Un ejemplo con dados de 6 caras es A={1,5,10,11,13,17}, B={3,4,7,12,15,16}, C={2,6,8,9,14,18}. En total habría 6³ = 216 tiradas posibles y, para que el asunto sea perfectamente justo, cada uno de los 6 órdenes posibles debería aparecer exactamente 36 veces. Eso ya indica que el problema es bastante más sutil que un simple «todos tienen las mismas posibilidades de sacar el número más alto».
Harshbarger y Ford encontraron una solución para 4 jugadores usando cuatro dados de 12 caras con los números del 1 al 48 hábilmente distribuidos. La cosa se complicaba. Aun así, aprovecharon para fabricar los dados y venderlos bajo el nombre Go First Dice («Dados para ver quién empieza») entre los aficionados a los juegos de mesa.
Pero con cinco jugadores la dificultad se disparó: hay 5! = 120 órdenes posibles posibles y todos deben aparecer con idéntica probabilidad. Se sabía que había alguna solución, pero que podría requerir dados de hasta 1.440 caras. Michael Purcell encontró una solución con dados de 120 caras, pero parecía demasiado complicada.
El avance llegó hacia 2023, cuando Meyer utilizó búsquedas por ordenador y ciertas regularidades matemáticas para encontrar una solución mucho más razonable: cinco dados de 60 caras, donde aparecen los números del 1 al 300 repartidos equitativamente. Cada jugador lanza una vez, no hay empates y cualquiera de los 120 órdenes posibles tiene exactamente la misma probabilidad: 1/120, aproximadamente el 0,8333%.
Otro problema era que no existen sólidos platónicos de 60 caras así que se decidieron por un hexecontaedro deltoidal, como el que puede verse en el vídeo, que tiene deltoides como caras, son todas iguales, equivalentes por simetría y equiprobables al lanzarlo físicamente.
¿Cuál sería siguiente reto? Encontrar una solución para 6 jugadores, en donde habría 6! = 720 órdenes posibles que repartir equitativamente… pero aquí la cosa comienza a irse de madre. Tanto que el número de caras del poliedro (que se desconoce) podría hacer imposible su construcción física dado que aquello podría parecerse más a una esfera que a otra cosa. Todo esto es una conjetura, pero seguro que ya están trabajando en la parte matemática y si lo resuelven irán a por el resto.
Lo más interesante es que resolver un problema tan nimio para 5 jugadores hicieron falta cerca de 15 años. No era un gran teorema pendiente ni un problema con aplicaciones industriales: era encontrar unos dados que decidieran limpiamente el orden de una partida. Todo para decidir quién empieza, algo que normalmente resolvemos en cinco segundos y sin necesidad de dedicar una década y media a complicadas elaboraciones matemáticas.
(Vía CBC Radio .)
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Harshbarger y Ford encontraron una solución para 4 jugadores usando cuatro dados de 12 caras con los números del 1 al 48 hábilmente distribuidos. La cosa se complicaba. Aun así, aprovecharon para fabricar los dados y venderlos bajo el nombre Go First Dice («Dados para ver quién empieza») entre los aficionados a los juegos de mesa.
Pero con cinco jugadores la dificultad se disparó: hay 5! = 120 órdenes posibles posibles y todos deben aparecer con idéntica probabilidad. Se sabía que había alguna solución, pero que podría requerir dados de hasta 1.440 caras. Michael Purcell encontró una solución con dados de 120 caras, pero parecía demasiado complicada.
El avance llegó hacia 2023, cuando Meyer utilizó búsquedas por ordenador y ciertas regularidades matemáticas para encontrar una solución mucho más razonable: cinco dados de 60 caras, donde aparecen los números del 1 al 300 repartidos equitativamente. Cada jugador lanza una vez, no hay empates y cualquiera de los 120 órdenes posibles tiene exactamente la misma probabilidad: 1/120, aproximadamente el 0,8333%.
Otro problema era que no existen sólidos platónicos de 60 caras así que se decidieron por un hexecontaedro deltoidal, como el que puede verse en el vídeo, que tiene deltoides como caras, son todas iguales, equivalentes por simetría y equiprobables al lanzarlo físicamente.
¿Cuál sería siguiente reto? Encontrar una solución para 6 jugadores, en donde habría 6! = 720 órdenes posibles que repartir equitativamente… pero aquí la cosa comienza a irse de madre. Tanto que el número de caras del poliedro (que se desconoce) podría hacer imposible su construcción física dado que aquello podría parecerse más a una esfera que a otra cosa. Todo esto es una conjetura, pero seguro que ya están trabajando en la parte matemática y si lo resuelven irán a por el resto.
Lo más interesante es que resolver un problema tan nimio para 5 jugadores hicieron falta cerca de 15 años. No era un gran teorema pendiente ni un problema con aplicaciones industriales: era encontrar unos dados que decidieran limpiamente el orden de una partida. Todo para decidir quién empieza, algo que normalmente resolvemos en cinco segundos y sin necesidad de dedicar una década y media a complicadas elaboraciones matemáticas.
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