La jerarquía de los números y sus siete «niveles»
La historia de los números es una especie de escalera de complejidad en la que cuando algo no «cabía» en el sistema anterior, se inventaba uno nuevo. Se empieza por los números para contar (1, 2, 3…), llamados naturales, luego los enteros (que incluían los negativos y el cero)… y de ahí en adelante. En total hay siete de estos niveles, y de los últimos dos yo había oído poco (excepto en física), pero son también interesantes: los cuaterniones y los octoniones.
Hay explicación completa, que combina historia con rigor matemático, en ThoughtTrill, un canal que he descubierto gracias al algoritmo y que resulta bastante divulgativo; sus vídeos hablan de matemáticas, paradojas y otras complejidades del universo.
Volviendo a los números, la lista de los siete niveles es esta:
Naturales: los de «contar cosas», como las 29 marcas del hueso de Lebombo, un peroné de babuino de hace unos 42.000 años encontrado en Sudáfrica. De cuando se contaba con palotes a lo cavernícola.
Enteros: Incluyen los números negativos, que ya usaban los chinos hacia el 200 a.C. aunque en Europa Descartes aún los llamaba «números falsos» todavía en 1637.
Racionales: surgieron con la división como resultado de fracciones como 3/2, documentadas en textos egipcios como el papiro Rhind, hacia el 1550 a.C. (donde incluso hay una aproximación tímida a π).
Reales: Cuando los griegos se enfrentaron a la raíz cuadrada de 2 llegó el drama: los pitagóricos creían que todo podía expresarse como divisiones entre enteros, pero con la diagonal de un cuadrado de lado 1 no había manera. Cuenta la leyenda que al que demostró que √2 no era una fracción lo arrojaron al mar. Los números irracionales (ya sean algebraicos o transcendentes, como π, e y similares), están dentro de los reales pero no van un nivel más allá.
Complejos: Habrían de pasar muchos años hasta que se creara un nuevo nivel para albergar a la √-1 y resolver ecuaciones que parecían imposibles. Como demostró Gauss en 1799, todo polinomio de grado n tiene n raíces complejas. Son prácticos en física, ingeniería eléctrica y ya nos resultan casi como de la familia.
Cuaterniones: En 1843 William Hamilton descubrió los cuaterniones en el puente de Broom, en Dublín, y allí mismo grabó la ecuación fundamental con una navaja: i² = j² = k² = i.j.k = -1.. Estos números no respetan la conmutatividad de la multiplicación (cosa que sí hacemos en esta casa), porque en su mundo a.b ≠ b.a.
Octoniones: Son de ocho dimensiones, una real y 7 imaginarias. Sumamente raros, muy elegantes y más propios de la física teórica que de MundoReal™. Estos no solo no respetan la conmutatividad sino tampoco la asociatividad y (a.b).c ≠ a.(b.c)
Hay explicación completa, que combina historia con rigor matemático, en ThoughtTrill, un canal que he descubierto gracias al algoritmo y que resulta bastante divulgativo; sus vídeos hablan de matemáticas, paradojas y otras complejidades del universo.
Volviendo a los números, la lista de los siete niveles es esta:
Naturales: los de «contar cosas», como las 29 marcas del hueso de Lebombo, un peroné de babuino de hace unos 42.000 años encontrado en Sudáfrica. De cuando se contaba con palotes a lo cavernícola.
Enteros: Incluyen los números negativos, que ya usaban los chinos hacia el 200 a.C. aunque en Europa Descartes aún los llamaba «números falsos» todavía en 1637.
Racionales: surgieron con la división como resultado de fracciones como 3/2, documentadas en textos egipcios como el papiro Rhind, hacia el 1550 a.C. (donde incluso hay una aproximación tímida a π).
Reales: Cuando los griegos se enfrentaron a la raíz cuadrada de 2 llegó el drama: los pitagóricos creían que todo podía expresarse como divisiones entre enteros, pero con la diagonal de un cuadrado de lado 1 no había manera. Cuenta la leyenda que al que demostró que √2 no era una fracción lo arrojaron al mar. Los números irracionales (ya sean algebraicos o transcendentes, como π, e y similares), están dentro de los reales pero no van un nivel más allá.
Complejos: Habrían de pasar muchos años hasta que se creara un nuevo nivel para albergar a la √-1 y resolver ecuaciones que parecían imposibles. Como demostró Gauss en 1799, todo polinomio de grado n tiene n raíces complejas. Son prácticos en física, ingeniería eléctrica y ya nos resultan casi como de la familia.
Cuaterniones: En 1843 William Hamilton descubrió los cuaterniones en el puente de Broom, en Dublín, y allí mismo grabó la ecuación fundamental con una navaja: i² = j² = k² = i.j.k = -1.. Estos números no respetan la conmutatividad de la multiplicación (cosa que sí hacemos en esta casa), porque en su mundo a.b ≠ b.a.
Octoniones: Son de ocho dimensiones, una real y 7 imaginarias. Sumamente raros, muy elegantes y más propios de la física teórica que de MundoReal™. Estos no solo no respetan la conmutatividad sino tampoco la asociatividad y (a.b).c ≠ a.(b.c)
Al igual que los irracionales, los transcendentes y los algebraicos irracionales que no son un nivel en sí mismos sino que están dentro de los reales, hay muchos más tipos que tampoco forman niveles en sí mismos. Están los construibles, los computables y no computables, los normales, los primos, los perfectos, los surreales… Toda una pista de que a los matemáticos también les gusta inventar nuevos grupos y ponerles nombres divertidos.
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